Höhensatz (Herleitung)
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Gegeben:

- Rechtwinkliges Dreieck ABC mit c als Hypotenuse
  und Höhe h, die die Strecke AB in Punkt D schneidet
- Der Kathetensatz ist bekannt:
  b² = cq
- Der Satz des Pythagoras ist bekannt:
  a² + b² = c²
- Außerdem die triviale Formel c = p + q

Ziel:

- Herleitung des Höhensatzes
  (d.h. eine Aussage über die Dreieckshöhe)

Methode:

- Mit Hilfe des Kathetensatzes (für ABC) und
- des Satzes des Pythagoras (für ACD)

Herleitung:

Im Dreieck ABC gilt der Kathetensatz:
b² = cq

Im Teildreieck ACD gilt der Satz des Pythagoras:
h² + q² = b²

Daraus folgt:

h² + q² = b²             | -q²
     h² = b² - q²        | b² = cq einsetzen
     h² = cq - q²        | c = p + q einsetzen
     h² = (p + q)q - q²  | T (ausmultiplizieren)
     h² = pq + q² - q²   | T
     h² = pq